Atividade 4
Após uma breve revisão da aula anterior, o professor fez a seguinte interrogação:
Professor: Para se calcular a área de outro tipo de polígono, por exemplo, o triângulo, a metodologia utilizada para o quadrado também é adequada?
Alguns alunos responderam que sim, a mesma metodologia serve para outras figuras planas. Outros discordaram e disseram que cada figura plana tem uma forma de cálculo da sua área.
Professor: Vamos fazer alguns testes?
Neste momento foi solicitado que os alunos fizessem um quadrado e, ao lado, um triângulo retângulo com as medidas da base e da altura iguais às do quadrado. A figura a seguir mostra as figuras construídas por um dos alunos.
Figura 81 – Figuras planas – quadrado e triângulo retângulo no Geogebra – atividade 4
Fonte: Tirada pelo pesquisador, 2014.
A figura a seguir foi projetada pelo professor para que toda a turma interagisse e discutisse sobre os questionamentos. Para Ponte et al (2013, p. 36):
O professor precisa estar atento a todo este processo de formulação e teste de conjecturas, para garantir que os alunos vão evoluindo na realização de investigações. Deste modo, cabe-lhe colocar questões aos alunos que os estimulem a olhar em outras direções e os façam refletir sobre aquilo que estão a fazer.
Para que este fato acontecesse o professor fez alguns questionamentos de forma que estimulassem os alunos a participarem das atividades e tivessem interesse em responder as perguntas.
Figura 82 – Figuras planas – quadrado e triângulo retângulo no Geogebra – atividade 4
Fonte: Elaborada pelo pesquisador, 2014.
Professor: Qual a área deste triângulo?
Os alunos permaneceram em silêncio e, mais uma vez, o professor teve que fazer uma pergunta mais pontual para que os alunos conseguissem identificar a relação entre as duas figuras.
Professor: Como mesmo se calcula a área de um quadrado?
Aluno 1: É só multiplicar a quantidade de quadrinhos que tem embaixo pela quantidade que tem pra cima.
Professor: Muito bem!! Qual a relação da área deste triângulo com a área do quadrado?
Aluno 2: É a metade!!!!
Professor: Muito bem!! Então como fazemos para calcular sua área?
Aluno 2: É só dividir a altura e a base por dois!!!!
O aluno teve o raciocínio correto, porém não conseguiu expressar a forma correta da expressão.
Professor: Como assim? Dividir a base e a altura por dois? Explique melhor.
Aluno 3: Depois que achar a área do quadrado é só dividir por dois!!!!
Professor: Muito bem!! Isso mesmo. Então, como ficaria a fórmula para se calcular a área deste triângulo?
Aluno 4: Multiplica a base vezes a altura e divide por dois, é assim professor?
Professor: Isso mesmo. Muito bom. Todos conseguiram identificar esta fórmula?
Alunos: Sim.
Professor: Com outros triângulos também dá certo? Com o triângulo acutângulo e com o obtusângulo essa fórmula também funciona?
Alunos: Que é isso? Triângulo acutângulo e obtusângulo?
Após este questionamento foi feita uma revisão acerca destes dois tipos de triângulos.
Utilizando as figuras já construídas, o quadrado e o triângulo retângulo, um segmento de reta maior que a base do triângulo foi inserida no triângulo e seu vértice foi vinculado a este segmento para que o ponto caminhasse por ele e transformasse o triângulo em acutângulo e obtusângulo, conforme ilustra a figura a seguir.
Figura 83 – Figuras planas – quadrado e triângulo retângulo no Geogebra com a função “animar” – desenvolvimento da atividade 4
Fonte: Elaborada pelo pesquisador, 2014.
Figura 84 – Figuras planas – quadrado e triângulo acutângulo no Geogebra com a função “animar” – desenvolvimento da atividade 4
Fonte: Elaborada pelo pesquisador, 2014.
Figura 85 – Figuras planas – quadrado e triângulo obtusângulo no Geogebra com a função “animar” – desenvolvimento da atividade 4
Fonte: Elaborada pelo pesquisador, 2014.
Esta etapa foi construída apenas pelo professor, já que o formato do software Geogebra instalado nas máquinas do LIE da escola estava desatualizado e não contava com esta função de vincular o ponto (vértice) ao segmento. Os alunos, ao observarem que a área do triângulo não se alterava conforme o vértice caminhava sobre o segmento e o triângulo passava de retângulo para acutângulo e para obtusângulo concluíram que a fórmula de se calcular a área de triângulos por meio da divisão da fórmula do quadrado por dois funcionava para qualquer triângulo. Cabe salientar que a área do triângulo não se alterou, pois o valor da base e da altura do triângulo continuou a mesma em relação à base e à altura do quadrado.
Professor: Como fizemos anteriormente, vamos fazer uma fórmula para calcular a área do triângulo? Alguém tem alguma ideia de como faremos isso?
Aluno 1: É fácil, é só dividir a área que achamos para o quadrado por dois. Não é isso professor?
Professor: Todos concordam com a ideia do colega?
Alunos: Sim!!!
Professor: Então como fica a fórmula para calcular a área do triângulo?
Aluno 3: O valor da base vezes o valor da altura e depois divide por dois, que é a metade da área do quadrado.
Professor: Isso mesmo, então a fórmula fica .
Neste momento o professor expôs novamente no quadro a fórmula e explicou o que significa cada letra.
Em um outro momento, foi solicitado que os alunos construíssem figuras planas que estão presentes em seu cotidiano e calculassem a área de acordo com o que foi estudado anteriormente. As figuras foram variadas, pois dependeu da criatividade de cada aluno. Também foi solicitado que explicassem qual a unidade de medida seria mais conveniente para a figura construída.
As figuras a seguir mostram que os alunos conseguiram desenvolver seu pensamento científico ao reproduzirem mentalmente elementos concretos que têm contato. Esta etapa é definida por Davydov (1986, p. 81) como sendo “a reprodução teórica do concreto real como unidade do diverso” que “se realiza pelo procedimento de ascensão do abstrato ao concreto”.
Além disso, o autor ainda coloca que:
Durante a solução da tarefa escolar os alunos identificam a origem do “núcleo” do objeto integral estudado e, utilizando-a, reproduzem mentalmente este objeto. Com isso, ao resolver a tarefa escolar, as crianças completam uma espécie de micro-ciclo de ascensão do abstrato ao concreto como meio de assimilação dos conhecimentos teóricos.
Os alunos 1, 2 e 3 construíram uma geladeira, identificaram que a melhor unidade de medida seria o metro quadrado “por causa do seu tamanho”. Explicaram que colocaram a parte superior na metade da malha para ficar mais difícil calcular a área já que tinha só a metade do quadradinho.
Figura 86 – Figuras planas relacionadas ao cotidiano dos alunos – geladeira – Geogebra – atividade 4
Fonte: Construída pelo aluno da pesquisa. Elaborada pelo pesquisador, 2014.
As alunas 4 e 5, fizeram uma igreja. Definiram que a unidade de medida ideal seria o metro quadrado pois as paredes eram muito grandes para usar o centímetro quadrado e pequenas demais para usar o quilômetro quadrado. Utilizaram vários recursos e figuras diferenciadas como o triângulo, o retângulo e o quadrado.
Figura 87 – Figuras planas relacionadas ao cotidiano dos alunos – igreja – Geogebra – atividade 4
Fonte: Construída pelo aluno da pesquisa. Elaborada pelo pesquisador, 2014.
Os alunos 6, 7 e 8 fizeram uma casa. Exploram bastante as funções do Geogebra ao construírem o telhado, a janela aberta, o corredor de entrada e o sol. Como nos outros dois casos, também conseguiram definir a unidade de medida ideal sendo o metro quadrado. O interessante é que não conseguiram definir qual a unidade de medida seria utilizada para medir o sol que construíram, pois não sabiam ao certo o seu tamanho e, com isso, queriam apagá-lo do desenho. Então foi explicado que seu tamanho é muitas vezes maior do que a terra e que a medida ideal seria o quilômetro quadrado (tem 696.342 quilômetros de raio).
Figura 88 – Figuras planas relacionadas ao cotidiano dos alunos – casa – Geogebra – atividade 4
Fonte: Construída pelo aluno da pesquisa. Elaborada pelo pesquisador, 2014.
Estas atividades demonstraram que os alunos conseguiram internalizar as características essenciais do objeto de estudo. Davydov (1986, p. 95) explica que:
Consequentemente, é totalmente aceitável usar o termo “conhecimento” para designar tanto o resultado do pensamento (o reflexo da realidade), quanto o processo pelo qual se obtém esse resultado (ou seja, as ações mentais). ‘Todo conceito científico é, simultaneamente, uma construção do pensamento e um reflexo do ser’. Deste ponto de vista, um conceito é, ao mesmo tempo, um reflexo do ser e um procedimento da operação mental.
Desta forma, se pode verificar que os alunos se apropriaram dos conceitos estudados de forma que conseguiram concretizar por meio das figuras construídas no Geogebra elementos reais que estavam presentes somente no pensamento.
Após a internalização dos alunos acerca das equações de cálculo de área e perímetro, o professor concluiu a história da Geometria, especificamente do cálculo de figuras planas. As figuras a seguir representam os slides que foram apresentados aos alunos.
Figura 89 – Apresentações referentes à conclusão da história da Geometria
Fonte: Elaborada pelo pesquisador, 2014.
Neste momento os alunos confirmaram as conjecturas que haviam formulado no momento das resoluções das atividades de estudo. Esta etapa, para Libâneo e Freitas (2013, p. 344) está relacionada ao momento em que as atividades de estudo levam os alunos “[...] a formarem, ativamente, novo nível de desenvolvimento de suas capacidades intelectuais e não simplesmente a adaptarem-se ao nível de desenvolvimento presente, já formado”.